`:top
En `F33f`_`[mathématiques`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Mathématiques]`_`f, la `!diagonalisation`! est un procédé d'`F33f`_`[algèbre linéaire`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Algèbre_linéaire]`_`f qui permet de simplifier la description de certains `F33f`_`[endomorphismes`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Endomorphisme_linéaire]`_`f d'un `F33f`_`[espace vectoriel`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Espace_vectoriel]`_`f, `F33f`_`[en particulier`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Matrice_d'une_application_linéaire]`_`f de certaines `F33f`_`[matrices carrées`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Matrice_(mathématiques)]`_`f. Elle consiste à rechercher et expliciter une `F33f`_`[base`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Base_(algèbre_linéaire)]`_`f de l'espace vectoriel constituée de `F33f`_`[vecteurs propres`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Vecteur_propre]`_`f, lorsqu'il en existe une. En `F33f`_`[dimension`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Dimension_d'un_espace_vectoriel]`_`f finie, la diagonalisation revient en effet à décrire cet endomorphisme à l'aide d'une `F33f`_`[matrice diagonale`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Matrice_diagonale]`_`f.
Ce procédé se ramène donc à une `F33f`_`[réduction`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Réduction_d'endomorphisme]`_`f maximale de l'endomorphisme, c'est-à-dire à une décomposition de l'espace vectoriel en une `F33f`_`[somme directe`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Somme_directe]`_`f de droites vectorielles `F33f`_`[stables`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Sous-espace_stable]`_`f par l'endomorphisme. Sur chacune de ces droites, l'endomorphisme se réduit à une `F33f`_`[homothétie`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Homothétie]`_`f. La diagonalisation d'un endomorphisme permet un calcul rapide et simple de ses `F33f`_`[puissances`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Puissance_(algèbre)]`_`f et de son `F33f`_`[exponentielle`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Exponentielle_d'une_matrice]`_`f, ce qui permet d'exprimer `F33f`_`[numériquement`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Analyse_numérique]`_`f certains `F33f`_`[systèmes dynamiques`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Système_dynamique]`_`f linéaires, obtenus par `F33f`_`[itération`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Itération]`_`f ou par des `F33f`_`[équations différentielles`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Équation_différentielle]`_`f.
>>Contents
• `F0af`_`[Méthode`#m-thode]`_`f
• `F0af`_`[Exemples`#exemples]`_`f
• `F0af`_`[Premier exemple`#premier-exemple]`_`f
• `F0af`_`[Deuxième exemple`#deuxi-me-exemple]`_`f
• `F0af`_`[Projecteur`#projecteur]`_`f
• `F0af`_`[Symétrie`#sym-trie]`_`f
• `F0af`_`[Limites et généralité`#limites-et-g-n-ralit]`_`f
• `F0af`_`[Diagonalisation simultanée`#diagonalisation-simultan-e]`_`f
• `F0af`_`[Notes et références`#notes-et-r-f-rences]`_`f
• `F0af`_`[Bibliographie`#bibliographie]`_`f
• `F0af`_`[Articles connexes`#articles-connexes]`_`f
-─
>>Méthode
• La diagonalisation d'une matrice `*M`* demande le plus souvent de déterminer ses `F33f`_`[valeurs propres`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Valeur_propre_(synthèse)]`_`f et les `F33f`_`[sous-espaces propres`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Valeur_propre_(synthèse)]`_`f associés ; pour ce faire, il est en général utile de commencer par calculer le `F33f`_`[polynôme caractéristique`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Polynôme_caractéristique]`_`f de la matrice : Pour M ∈ ∈ M n ( K ) {\\displaystyle M\\in M_{n}(K)} , le polynôme caractéristique est χ χ M ( X ) = d e t ( X I n − − M ) {\\displaystyle \\chi _{M}(X)={\\rm {det}}(XI_{n}-M)} , où X {\\displaystyle X} est l'indéterminée et `*In`* est la `F33f`_`[matrice identité`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Matrice_identité]`_`f de M n ( K ) {\\displaystyle M_{n}(K)} . Les valeurs propres λ`*i`* sont les racines de χ χ M {\\displaystyle \\chi _{M}} , il y a donc au plus `*n`* valeurs propres de `F33f`_`[multiplicité`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Valeur_propre_(synthèse)]`_`f `*mi`*. On détermine ensuite, pour chaque valeur propre, le sous-espace propre qui lui est associé : E λ λ i = K e r ( M − − λ λ i I n ) . {\\displaystyle E_{\\lambda _{i}}={\\rm {Ker}}(M-\\lambda _{i}I_{n}).} La matrice n'est `F33f`_`[diagonalisable`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Matrice_diagonalisable]`_`f que si la dimension de chaque sous-espace propre `*E`*λ`*i`* est égale à la multiplicité `*mi`* de la valeur propre λ`*i`*, ce qui signifie que pour chaque E λ λ i {\\textstyle E_{\\lambda _{i}}} on a une base de `*mi`* `F33f`_`[vecteurs propres`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Valeur_propre_(synthèse)]`_`f que l'on note `*Xi,j`*, 1 ≤ `*j ≤ mi`*. Alors il existe une matrice inversible `*U`* telle que `*U`*−1`*MU`* soit égale à une matrice diagonale `*D`* (`F33f`_`[semblable`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Matrices_semblables]`_`f à `*M`* par définition) dont les coefficients diagonaux sont les λ`*i`* répétés `*mi`* fois et `*U`* est la matrice dont les colonnes sont les vecteurs `*Xi,j`* (l'ordre n'a pas d'importance, mais si on a le vecteur `*Xi,j`* sur la `*k`*-ième colonne de `*U`*, alors on a la valeur propre λ`*i`* sur la `*k`*-ième colonne de `*D`*).
• Un endomorphisme `*u`* qui n'a qu'un nombre fini de valeurs propres (ce qui est toujours le cas en dimension finie) est diagonalisable si et seulement s'il est `F33f`_`[annulé par un polynôme`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Polynôme_d'endomorphisme]`_`f `F33f`_`[scindé`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Polynôme_scindé]`_`f et à `F33f`_`[racines simples`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Racine_simple]`_`f. De plus, les `F33f`_`[projecteurs`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Projecteur_(mathématiques)]`_`f sur les sous-espaces propres s'expriment alors comme des polynômes en `*u`* (voir `F33f`_`[Lemme des noyaux`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Lemme_des_noyaux]`_`f).
>>Exemples
>>>Premier exemple
On considère la matrice :
A = ( 1 2 0 0 3 0 2 − − 4 2 ) . {\\displaystyle A={\\begin{pmatrix}1&2&0\\\\0&3&0\\\\2&-4&2\\end{pmatrix}}.}
Cette matrice admet comme `F33f`_`[valeurs propres`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Valeur_propre_(synthèse)]`_`f :
λ λ 1 = 3 , λ λ 2 = 2 , λ λ 3 = 1. {\\displaystyle \\lambda _{1}=3,\\quad \\lambda _{2}=2,\\quad \\lambda _{3}=1.}
Ainsi `*A`* qui est de taille 3, a 3 valeurs propres distinctes, donc est diagonalisable.
Si on veut diagonaliser `*A`*, il faut déterminer les `F33f`_`[vecteurs propres`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Valeur_propre_(synthèse)]`_`f correspondants. Il y a par exemple :
v 1 = ( 1 1 − − 2 ) , v 2 = ( 0 0 1 ) , v 3 = ( 1 0 − − 2 ) . {\\displaystyle v_{1}={\\begin{pmatrix}1\\\\1\\\\-2\\end{pmatrix}},\\quad v_{2}={\\begin{pmatrix}0\\\\0\\\\1\\end{pmatrix}},\\quad v_{3}={\\begin{pmatrix}1\\\\0\\\\-2\\end{pmatrix}}.}
On vérifie facilement que A v k = λ λ k v k {\\displaystyle Av_{k}=\\lambda _{k}v_{k}} .
Maintenant soit `*P`* la matrice ayant ces vecteurs propres comme colonnes :
P = ( 1 0 1 1 0 0 − − 2 1 − − 2 ) . {\\displaystyle P={\\begin{pmatrix}1&0&1\\\\1&0&0\\\\-2&1&-2\\end{pmatrix}}.}
Alors « `*P`* diagonalise `*A`* », comme le montre un simple calcul :
P − − 1 A P = ( 0 1 0 2 0 1 1 − − 1 0 ) ( 1 2 0 0 3 0 2 − − 4 2 ) ( 1 0 1 1 0 0 − − 2 1 − − 2 ) = ( 3 0 0 0 2 0 0 0 1 ) . {\\displaystyle P^{-1}AP={\\begin{pmatrix}0&1&0\\\\2&0&1\\\\1&-1&0\\end{pmatrix}}{\\begin{pmatrix}1&2&0\\\\0&3&0\\\\2&-4&2\\end{pmatrix}}{\\begin{pmatrix}1&0&1\\\\1&0&0\\\\-2&1&-2\\end{pmatrix}}={\\begin{pmatrix}3&0&0\\\\0&2&0\\\\0&0&1\\end{pmatrix}}.}
On peut remarquer que les valeurs propres λ`*k`* apparaissent sur la diagonale de la matrice dans le même ordre que celui dans lequel les colonnes propres ont été placées pour former `*P`*.
>>>Deuxième exemple
Soit A = ( 0 3 − − 1 2 − − 1 1 0 0 2 ) ∈ ∈ M 3 ( R ) {\\displaystyle A={\\begin{pmatrix}0&3&-1\\\\2&-1&1\\\\0&0&2\\end{pmatrix}}\\in M_{3}(\\mathbb {R} )} Le polynôme caractéristique est :
χ χ A ( T ) = det ( T I 3 − − A ) = | T − − 3 1 − − 2 T + 1 − − 1 0 0 T − − 2 | = ( T − − 2 ) 2 ( T + 3 ) {\\displaystyle \\chi _{A}(T)=\\operatorname {det} (TI_{3}-A)={\\begin{vmatrix}T&-3&1\\\\-2&T+1&-1\\\\0&0&T-2\\end{vmatrix}}=(T-2)^{2}(T+3)} (voir le calcul d'un `F33f`_`[déterminant`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Déterminant_(mathématiques)]`_`f)
Donc les valeurs propres sont :
• 2 de multiplicité 2,
• –3 de multiplicité 1.
`!Calcul des sous-espaces propres`!
On calcule d'abord `*E`*2, ce qui revient à chercher les vecteurs X = ( x 1 x 2 x 3 ) {\\displaystyle X={\\begin{pmatrix}x_{1}\\\\x_{2}\\\\x_{3}\\end{pmatrix}}} tels que : ( A − − 2 I 3 ) X = 0 {\\textstyle (A-2I_{3})X=0}
Or :
( A − − 2 I 3 ) X = 0 ⇔ ⇔ ( − − 2 3 − − 1 2 − − 3 1 0 0 0 ) ( x 1 x 2 x 3 ) = 0 ⇔ ⇔ − − 2 x 1 + 3 x 2 − − x 3 = 0 {\\displaystyle (A-2I_{3})X=0\\Leftrightarrow {\\begin{pmatrix}-2&3&-1\\\\2&-3&1\\\\0&0&0\\end{pmatrix}}{\\begin{pmatrix}x_{1}\\\\x_{2}\\\\x_{3}\\end{pmatrix}}=0\\Leftrightarrow -2x_{1}+3x_{2}-x_{3}=0}
Donc E 2 = Vect { ( 3 2 0 ) , ( 1 0 − − 2 ) } {\\displaystyle E_{2}=\\operatorname {Vect} \\left\\{{\\begin{pmatrix}3\\\\2\\\\0\\end{pmatrix}},{\\begin{pmatrix}1\\\\0\\\\-2\\end{pmatrix}}\\right\\}}
On procède de même pour `*E`*–3 et l'on obtient :
E − − 3 = Vect { ( 1 − − 1 0 ) } {\\displaystyle E_{-3}=\\operatorname {Vect} \\left\\{{\\begin{pmatrix}1\\\\-1\\\\0\\end{pmatrix}}\\right\\}}
On a bien : dim ( E 2 ) = 2 {\\displaystyle \\operatorname {dim} (E_{2})=2\\,} et dim ( E − − 3 ) = 1 {\\displaystyle \\operatorname {dim} (E_{-3})=1\\,} , donc cette matrice est diagonalisable.
Une diagonalisation possible est :
B = U − − 1 A U = ( 2 0 0 0 2 0 0 0 − − 3 ) {\\displaystyle B=U^{-1}AU={\\begin{pmatrix}2&0&0\\\\0&2&0\\\\0&0&{-3}\\end{pmatrix}}} , avec U = ( 3 1 1 2 0 − − 1 0 − − 2 0 ) . {\\displaystyle U={\\begin{pmatrix}3&1&1\\\\2&0&-1\\\\0&-2&0\\end{pmatrix}}.}
>>>Projecteur
Soit (en dimension quelconque) `*p`* un `F33f`_`[projecteur`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Projecteur_(mathématiques)]`_`f, c'est-à-dire un endomorphisme `F33f`_`[idempotent`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Idempotent]`_`f : `*p`*2 = `*p`*. Il est annulé par le polynôme `*X`*2 – `*X`* = (`*X`* – 1)`*X`*, qui est scindé et à racines simples. Il est donc diagonalisable, de valeurs propres 1 et 0. Les projecteurs sur les deux sous-espaces propres correspondants (`F33f`_`[supplémentaires`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Sous-espace_supplémentaire]`_`f l'un de l'autre) sont `*p`* et `F33f`_`[id`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Application_identité]`_`f – `*p`*. Si l'espace est `F33f`_`[normé`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Espace_vectoriel_normé]`_`f (ou plus généralement si c'est un `F33f`_`[espace vectoriel topologique`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Espace_vectoriel_topologique]`_`f) et si `*p`* est `F33f`_`[continu`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Continuité_(mathématiques)]`_`f, ces deux sous-espaces sont donc même `F33f`_`[supplémentaires topologiques`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Supplémentaire_topologique]`_`f.
>>>Symétrie
Toujours en dimension quelconque, soit `*s`* une `F33f`_`[symétrie`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Symétrie_(transformation_géométrique)]`_`f, c'est-à-dire un endomorphisme `F33f`_`[involutif`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Involution_(mathématiques)]`_`f : `*s`*2 = id. Il est annulé par le polynôme `*X`*2 – 1 = (`*X`* – 1)(`*X`* + 1) qui est scindé, et à racines simples dès que le `F33f`_`[corps`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Corps_commutatif]`_`f des `F33f`_`[scalaires`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Scalaire_(mathématiques)]`_`f est de `F33f`_`[caractéristique`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Caractéristique_d'un_anneau]`_`f différente de 2. Il est donc dans ce cas diagonalisable, ses deux sous-espaces propres (pour les valeurs propres 1 et –1) étant d'ailleurs ceux (pour les valeurs propres 1 et 0) du projecteur `*p`* = (`*s`* + id)/2.
Par exemple sur l'espace ℒ(`*H`*) des `F33f`_`[opérateurs bornés`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Espace_vectoriel_normé]`_`f sur un `F33f`_`[espace de Hilbert`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Espace_de_Hilbert]`_`f `*H`* sur `*K`* = `F33f`_`[ℝ`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Nombre_réel]`_`f ou `F33f`_`[ℂ`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Nombre_complexe]`_`f, la symétrie qui à chaque opérateur associe son `F33f`_`[adjoint`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Opérateur_adjoint]`_`f est toujours ℝ-linéaire, et diagonalisable `*en tant que telle`* : les `F33f`_`[opérateurs hermitiens et antihermitiens`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Endomorphisme_autoadjoint]`_`f forment deux sous-espaces vectoriels `*réels`* supplémentaires (topologiques). (Lorsque `*H`* est de dimension finie `*n`* sur `*K`*, une `F33f`_`[écriture matricielle`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Matrice_hermitienne]`_`f montre que leurs dimensions sont égales respectivement à `*n`*(`*n`* + 1)/2 et `*n`*(`*n`* – 1)/2 si `*H`* est `F33f`_`[euclidien`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Espace_euclidien]`_`f, et toutes deux égales à `*n`*2 si `*H`* est `F33f`_`[hermitien`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Espace_hermitien]`_`f.)
>>Limites et généralité
Tous les endomorphismes ne sont pas diagonalisables. Cependant :
• le polynôme caractéristique d'un endomorphisme est `F33f`_`[scindé`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Polynôme_scindé]`_`f si et seulement si `F33f`_`[son polynôme minimal`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Polynôme_minimal_d'un_endomorphisme]`_`f l'est, et sur un `F33f`_`[corps algébriquement clos`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Corps_algébriquement_clos]`_`f comme `F33f`_`[ℂ`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Nombre_complexe]`_`f, ils le sont toujours. Dans ce cas, la `F33f`_`[décomposition de Dunford`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Décomposition_de_Dunford]`_`f assure que l'endomorphisme se décompose comme somme d'un endomorphisme diagonalisable et d'un nilpotent qui commutent, ce qui facilite le calcul de ses puissances et `F33f`_`[ses exponentielles`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Exponentielle_d'une_matrice]`_`f ;
• dans l'ensemble des matrices carrées de taille fixée à coefficients complexes (qui sont toutes `F33f`_`[trigonalisables`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Trigonalisation]`_`f sur ℂ), l'ensemble des matrices diagonalisables est `F33f`_`[dense`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Partie_dense]`_`f (pour la `F33f`_`[topologie usuelle`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Espace_hermitien]`_`f)`:cite-ref-gelineau-1-0[`F5bf`_`[1`#cite-note-gelineau-1]`_`f] ;
• dans l'ensemble des matrices carrées de taille fixée à coefficients réels trigonalisables sur ℝ (c'est-à-dire dont toutes les valeurs propres — `*a priori`* complexes — sont réelles), l'ensemble des matrices diagonalisables est dense`:cite-ref-gelineau-1-1[`F5bf`_`[1`#cite-note-gelineau-1]`_`f].
>>Diagonalisation simultanée
Si une `F33f`_`[famille`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Famille_(mathématiques)]`_`f ( u i ) i ∈ ∈ I {\\displaystyle (u_{i})_{i\\in I}} d'endomorphismes d'un espace `*E`* est `*simultanément diagonalisable`*, c'est-à-dire s'il existe une base de `*E`* propre pour tous les u i {\\displaystyle u_{i}} , il est clair que les u i {\\displaystyle u_{i}} `F33f`_`[commutent deux à deux`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Commuter]`_`f.
On n'a qu'une réciproque partielle : si `*E`* est de dimension finie ou si I {\\displaystyle I} est fini, toute famille ( u i ) i ∈ ∈ I {\\displaystyle (u_{i})_{i\\in I}} d'endomorphismes diagonalisables de `*E`* qui commutent deux à deux est simultanément diagonalisable`:cite-ref-2[`F5bf`_`[2`#cite-note-2]`_`f].
>>Notes et références
`:cite-note-gelineau-1`!1.`! Yoann Gelineau (`F33f`_`[Université Claude-Bernard Lyon 1`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Université_Claude-Bernard_Lyon_1]`_`f), Densité des matrices diagonalisables dans ℳ`*n`*(ℂ), d'après Rombaldi, `*Thèmes pour l'`F33f`_`[agrégation de mathématiques`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Agrégation_de_mathématiques]`_`f`*, p. 51.
`:cite-note-2`!2.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-2]`_`f Exercices corrigés Diagonalisation et sous-espaces stables sur Wikiversité.
>>Bibliographie
(en) Richard S. Varga, `*Matrix Iterative Analysis`*, Springer, 2010 (`F33f`_`[ISBN`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=International_Standard_Book_Number]`_`f 978-3-64205154-8)
>>Articles connexes
• `F33f`_`[Analyse en composantes principales`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Analyse_en_composantes_principales]`_`f
• `F33f`_`[Matrice nilpotente`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Matrice_nilpotente]`_`f (pour des exemples de matrices `F33f`_`[trigonalisables`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Trigonalisation]`_`f mais non `F33f`_`[diagonalisables`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Matrice_diagonalisable]`_`f) ; `F33f`_`[Matrice diagonalisable`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Matrice_diagonalisable]`_`f (dont les `*matrices simultanément diagonalisables`*)
• `F33f`_`[Réduction de matrice`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Réduction_de_matrice]`_`f
• `F33f`_`[Réduction d'endomorphisme`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Réduction_d'endomorphisme]`_`f
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